Euclide

Ví dụ 7.1.6. Xét không gian vectơ M
2
(R) gồm các ma trận vuông
cấp 2 trên trường số thực R. Ánh xạ A, B := Tr(A

B) là một tích
vô hướng trong M
2
(R).
Ví dụ 7.1.7. Với các đa thức P, Q ∈ R[x], đònh nghóa
P, Q :=

1
0
P (x)Q(x)dx.
Hiển nhiên các tính chất (i)-(iii) trong Đònh nghóa 7.1.1 được thỏa
mãn. Ta se chứng tỏ tính chất (iv) cũng được thỏa mãn. Thật vậy,
ta có P, P =

1
0
P (x)
2
dx ≥ 0. Giả sử P, P =0.VìP (x) là một
hàm liên tục và P (x)
2
≥ 0 nên từ điều kiện

1
0
P (x)
2
dx =0suy
ra P (x)|
[0,1]
=0. Do đa thức P (x) chỉ có thể có một số hữu hạn
nghiệm nên từ đó suy ra P (x) ≡ 0.
Ví dụ 7.1.8. Cho W là một không gian con của không gian véc tơ
V . Giả sử trong V có tích vô hướng ,
V
. Với mọi x, y ∈ W, đònh
nghóa
x, y
W
:= x, y
V
.
Dễõ thấy đây là một tích vô hướng trong W.
Đònh nghóa 7.1.9. Xét không gian Euclid V . Ta nói chuẩn hay độ dài
của vectơ u, ký hiệu ||u||, là số thực

u, u, nghóa là ||u|| =

u, u.
Nếu một vectơ có độ dài bằng 1 thì ta sẽ nói nó là một vectơ đơn vò.
Từ đònh nghóa tích vô hướng ta thấy ngay rằng chuẩn của một
vectơ luôn là một số thực không âm. Hơn nữa, chỉ có vectơ không là
có chuẩn bằng 0.
Ví dụ 7.1.10. (a) Trong không gian Euclid ở Ví dụ 7.1.3, độ dài của
các vectơ xác đònh như trong Đònh nghóa 7.1.9 chính là độ dài quen
thuộc mà ta đã biết trong Hình học sơ cấp.
5
(b) Độ dài của vectơ x =(x
1
, .,x
n
) trong không gian ở Ví dụ
7.1.4 được xác đònh như sau:
||u|| =

|x
1
|
2
+ .+ |x
n
|
2
.
(c) Độ dài của vectơ P (t) trong không gian ở Ví dụ 7.1.7 là
||P (t)|| =


b
a
|P (t)|
2
dt.
Bổ đề 7.1.11. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Với mọi x, y ∈ V
ta có
x, y
2
≤||x||
2
.||y||
2
.
Hơn nữa, dấu = xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến
tính.
Chứng minh. Nếu ||x|| = ||y|| =0thì x = y =0và bất đẳng thức
hiển nhiên được thỏa mãn.
Giả sử ||y|| =0và λ ∈ R là một số thực bất kỳ. Ta có
||x + λy||
2
≥ 0
=⇒||x||
2
+ ||λy||
2
+2x, λy≥0
=⇒ λ
2
.||y||
2
+2λx, y + ||x||
2
≥ 0.
Vế trái của bất đẳng thức sau cùng là một tam thức bậc hai theo
λ. Để tam thức này luôn nhận giá trò không âm đối với mọi λ ∈ R
thì điều kiện cần và đủ là biệt số ∆

≤ 0, nghóa là
x, y
2
−||x|
2
||y||
2
≤ 0
hay
x, y
2
≤||x|
2
||y||
.
6
Bây giờ, giả sử dấu = xảy ra, nghóa là x, y
2
= ||x|
2
||y||
2
. Khi
đó tam thức bậc hai nói trên có nghiệm kép, nghóa là tồn tại λ ∈ R
sao cho
λ
2
.||y||
2
+2λx, y + ||x||
2
hay ||x + λy||
2
=0. Từ đó suy ra x + λy =0hay x và y là các vectơ
phụ thuộc tuyến tính.
Mệnh đề 7.1.12. Ánh xạ
|| || : V −→ R
+
xác đònh bởi ||x|| =

x, x thỏa mãn các tính chất sau đây:
(i) ||λx|| = |λ|.||x||,∀x ∈ V,∀λ ∈ R.
(ii) ||x|| =0⇐⇒ x =0.
(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||,∀x, y ∈ V (bất đẳng thức tam giác).
Hơn nữa, dấu = xảy ra khi và chỉ khi tồn tại λ ≥ 0 sao cho y = λx
hoặc x = λy.
Chứng minh. Ta có
||x + y||
2
= ||x||
2
+ ||y||
2
+2x, y≤
||x||
2
+ ||y||
2
+2|x, y| ≤ (bất đẳng thức C-S)
||x||
2
+ ||y||
2
+2||x||.||y|| =(||x|| + ||y||)
2
.
Suy ra ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Nếu y = λx, với λ ≥ 0 thì ta có
||x + y|| = ||x + λx|| = ||(1 + λx)x|| =(1+λ)||x||
= ||x|| + λ.||x|| = ||x|| + ||λx|| = ||x|| +||y||.
Ngược lại, giả sử
||x + y|| = ||x|| + ||y||.
Khi đó
7
||x + y||
2
= ||x||
2
+ ||y||
2
+2x, y
= ||x||
2
+ ||y||
2
+2||x||.||y||.
Từ đó suy ra x, y = ||x||.||y||, kéo theo x, y
2
= ||x||
2
||y||
2
.
Theo Bổ đề 7.1.11, x và y phụ thuộc tuyến tính. Giả sử, chẳng
hạn x =0và y = λx. Khi đó từ bất đẳng thức C-S ta còn có
|x, y| = ||x||.||y||, suy ra x, y = |x, y|. Thay y = λx vào đẳng
thức cuối cùng, nhận được λ.||x|| = |λ|.||x||. Từ đó suy ra λ ≥ 0.
Giả sử x và y là hai vectơ khác không của V . Áp dụng bất đẳng
thức C-S, ta có
|x, y|
||x||.||y||
≤ 1.
Từ đó suy ra tồn tại duy nhất một góc θ ∈ [0,π] sao cho
cos θ =
x, y
||x||.||y||
≤ 1.
Ta gọi θ là góc (không đònh hướng) giữa các véc tơ x và y. Góc
giữa vectơ 0 và một vectơ x bất kỳ được xem là tùy ý.
Cuối cùng, để kết thúc tiết này, lưu ý rằng tích vô hướng có thể
được biểu diễn qua chuẩn bởi công thức dưới đây:
x, y =
1
2
(||x + y||
2
−||x||
2
−||y||
2
).
8
7.2. Sự trực giao
Đònh nghóa 7.2.1. Cho V là một không gian Euclid với tích vô hướng
,.
(a) Ta nói các vectơ x, y ∈ V trực giao với nhau và viết x ⊥ y,
nếu x, y =0.
(b) Nếu A ⊆ V là một tập con khác ∅ của V thì ta đặt
A
⊥
:= {x ∈ V |x, a =0,∀a ∈ A}.
Khi đó A
⊥
là một không gian con của V và ta gọi A
⊥
là không
gian con trực giao với A.
Dễ dàng nhận thấy 0
⊥
= V và V
⊥
=0.
Bây giờ giả sử V là không gian vectơ trên trường K và V
∗
là
không gian đối ngẫu của nó. Nếu W là không gian con của V thì đặt
W
0
:= {f ∈ V
∗
|f(v)=0,∀v ∈ W}.
Dễ thấy W
0
là không gian con của V
∗
và ta gọi nó là linh hóa tử
của W. Hiển nhiên, nếu {v
1
, .,v
p
} là một cơ sở của W thì
W
0
= {f ∈ V
∗
|f(v
1
)= .= f(v
p
)=0}.
Mệnh đề 7.2.2. Nếu V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên K
và W là không gian con của V thì
dimV = dimW + dimW
0
.
Chứng minh. Giả sử dimV = n và {v
1
, .,v
p
} là một cơ sở của W .
Bổ túc thêm các vectơ của V vào tập hợp nói trên để nhận được một
cơ sở của V :
B = {v
1
, .,v
p
,v
p+1
, .,v
n
}.
9
Gọi B
∗
= {ρ
1
, .,ρ
p
,ρ
p+1
, .,ρ
n
} là cơ sở đối ngẫu của B.Ta
sẽ chứng minh {ρ
p+1
, .,ρ
n
} là cơ sở của W
0
.
∀k ∈
p +1,nta có ρ
k
(v
1
)= .ρ
k
(v
p
)=0, suy ra ρ
k
∈ W
0
.Do
ρ
p+1
, .,ρ
n
} là các vectơ độc lập tuyến tính nên ta chỉ cần chứng
minh chúng sinh ra W
0
là đủ. Vậy, xét ∀f ∈ W
0
và ∀x ∈ V . Ta có
x = x
1
v
1
+ .+ x
p
v
p
+ x
p+1
v
p+1
+ .+ x
n
v
n
.
Khi đó f (x)=x
p+1
f(v
p+1
)+ .+x
n
f(v
n
). Đặt λ
k
= f(v
k
),∀k ∈
p +1,n, ta có
f(x)=λ
p+1
ρ
p+1
(x)+ .+ λ
n
ρ
n
(x).
Từ đó suy ra f = λ
p+1
ρ
1
+ .+ λ
n
ρ
n
.
Trở lại với không gian Euclid n chiều V . Như trên đã nhận xét,
V
∗
 V . Dưới đây ta sẽ xây dựng một đẳng cấu tự nhiên giữa V và
V
∗
.
Mệnh đề 7.2.3. Cho V là không gian Euclid với tích vô hướng ,.
Ánh xạ
σ : V −→ V
∗
y −→ σ(y),
trong đó
σ(y): V −→ R
∗
x −→ x, y
là một đẳng cấu giữa V và V
∗
. Hơn nữa, nếu W là một không gian
con của V thì σ(W
⊥
)=W
0
.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra σ là một ánh xạ tuyến tính. Do
dim(V )=dim(V
∗
) nên để chứng minh σ là đẳng cấu ta chỉ cần
chứng minh σ là đơn cấu là đủ. Vậy, giả sử y ∈ V sao cho σ(y)=0.
10
Điều này có nghóa là x, y =0,∀x ∈ V . Nói riêng, lấy x = y ta có
y, y =0, kéo theo y =0. Vậy σ là đơn cấu, kéo theo σ là đẳng cấu.
Tiếp theo ta có
σ
−1
(W
0
)={y ∈ V | σ(y) ∈ W
0
}
= {y ∈ V | σ(y)(x)=0,∀x ∈ W}
= {y ∈ V |x, y =0,∀x ∈ W} = W
⊥
.
Do σ là đẳng cấu nên từ đó suy ra σ(W
⊥
)=W
0
.
Hệ quả 7.2.4. Nếu W là không gian con của không gian Euclid V
thì
dim(W
⊥
)=dim(V )− dim(W ).
Mệnh đề 7.2.5. Nếu W là không gian con của không gian Euclid V
thì
(i) V = W ⊕ W
⊥
.
(ii) W
⊥⊥
:= (W
⊥
)
⊥
= W.
Chứng minh. (i) Từ nhận xét rằng W ∩ W
⊥
=0và từ Hệ quả 7.2.4
suy ra ngay V = W ⊕ W
⊥
.
(ii) ∀x ∈ W,∀y ∈ W
⊥
ta có x, y =0, suy ra x ∈ W
⊥⊥
. Vậy
W ⊆ W
⊥⊥
. Áp dụng Hệ quả 7.2.4, ta có
dim(W
⊥⊥
)=dim(V ) − dim(W
⊥
)
= dim(V ) − (dim(V ) − dim)(W )=dim(W ).
Từ đó suy ra dim(W
⊥⊥
)=dim(W), kéo theo W
⊥⊥
= W.
11
7.3. Cơ sở trực giao và cơ sở trực chuẩn. Quá trình
trực giao hóa Gram-Schmidt
Đònh nghóa 7.3.1. Cho V là không gian Euclid n chiều và B =
(e
1
, .,e
n
) là một cơ sở của V .
(i) Ta nói B là cơ sở trực giao nếu
e
i
,e
j
 =0,∀i = j.
(ii) Ta nói B là cơ sở trực chuẩn nếu
e
i
,e
j
 = δ
ij
,
trong đó δ
ij
là ký hiệu Kronecker.
Hiển nhiên nếu (e
1
, .,e
n
) là cơ sở trực giao thì (
e
1
||e
1
||
, .,
e
n
||e
n
||
)
là cơ sở trực chuẩn.
Đònh lý 7.3.2. Trong một không gian Euclid bất kỳ luôn tồn tại các
cơ sở trực chuẩn.
Chứng minh. Do nhận xét phía trên nên ta chỉ cần chứng minh sự
tồn tại cơ sở trực giao là đủ. Điều này sẽ được chứng minh bằng qui
nạp theo n. Nếu n =1thì không có điều gì để chứng minh. Giả sử
điều khẳng đònh là đúng cho những không gian số chiều bé thua n.
Xét một vectơ 0 = v ∈ V và đặt W = v
⊥
. Khi đó V = v⊕W và
dim(W )=n − 1. Theo giả thiết qui nạp trong W ta tìm được cơ sở
trực giao, chẳng hạn (u
1
, .,u
n−1
). Đặt u
n
= v, hiển nhiên ta có
một cơ sở trực giao của V là (u
1
, .,u
n−1
,u
n
).
Giả sử B =(e
1
, .,e
n
) là cơ sở trực chuẩn của V . Với mọi cặp
vectơ x =

n
i=1
x
i
e
i
và y =

n
i=1
y
i
e
i
của V ta có
x, y = 
n

i=1
x
i
e
i
,
n

i=1
y
i
e
i
 =
n

i,j=1
x
i
y
j
e
i
,e
j
 =
n

i=1
x
i
y
i
.
12
Từ đó suy ra hệ quả sau đây của Đònh lý 7.3.2.
Hệ quả 7.3.3. Cho B =(e
1
, .,e
n
) là cơ sở trực chuẩn trong không
gian Euclid V . Khi đó ta có phép đẳng cấu sau đây giữa V và không
gian Euclid R
n
với tích vô hướng chính tắc:
ϕ
B
: V −→ R
n
x =

n
i=1
x
i
e
i
−→ (x
1
, .,x
n
).
Nếu B =(e
1
, .,e
n
) là một cơ sở được sắp của không gian Euclid
V và x ∈ V thì ta ký hiệu X =



x
1
.
.
.
x
n



là tọa độ của x trong cơ sở
B. Đònh lý dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để một cơ sở là
trực chuẩn.
Đònh lý 7.3.4. Cho B =(e
1
, .,e
n
) là một cơ sở được sắp của
không gian Euclid V . Khi đó, B là cơ sở trực chuẩn nếu và chỉ nếu
đối với mọi vectơ x, y của V ta có
x, y = x
1
y
1
+ .+ x
n
y
n
,
trong đó X =



x
1
.
.
.
x
n



và Y =



y
1
.
.
.
y
n



là tọa độ của các vectơ
x, y trong cơ sở B.
Chứng minh. Giả sử B là cơ sở trực chuẩn và x, y ∈ V . Ta có
x, y = 
n

i=1
x
i
,
n

j=1
y
j
 =
n

i=1
n

j=1
x
i
y
j
e
i
,e
j
 =
n

i=1
x
i
y
i
.
13
Điều ngược lại là hiển nhiên.
Từ đònh lý vừa chứng minh ta suy ra ngay hệ quả sau:
Hệ quả 7.3.5. Cho B =(e
1
, .,e
n
) là một cơ sở trực chuẩn và x
là một vectơ bất kỳ của không gian Euclid V . Khi đó ta có
x = x, e
1
e
1
+ .+ x, e
n
e
n
.
Từ công thức V = W ⊕ W
⊥
trong Mệnh đề 7.2.5 suy ra mỗi
vectơ x ∈ V đều viết được một cách duy nhất dưới dạng x = x
0
+ y,
trong đó x
0
∈ W và y ∈ W
⊥
. Ta gọi x
0
là hình chiếu trực giao của
x lên W và ký hiệu là x
0
= pr
W
(x). Mệnh đề sau đây cho ta một
cách tính hình chiếu trực giao của một vectơ x lên không gian con
W của V .
Mệnh đề 7.3.6. Cho V là không gian Euclid và W là một không
gian con của V . Giả sử (e
1
, .,e
m
) là một cơ sở trực chuẩn của W
và x là một vectơ bất kỳ của V . Khi đó ta có công thức
pr
W
(x)=x, e
1
e
1
+ .+ x, e
m
e
m
.
Chứng minh. Gọi (e
m+1
, .,e
n
) là một cơ sở của phần bù trực giao
W
⊥
. Khi đó, theo Mệnh đề 7.2.5 ta có (e
1
, .,e
m
,e
m+1
, .,e
n
) là
một cơ sở của V . Áp dụng Hệ quả 7.3.5, nhận được
x =(x, e
1
e
1
+ .+x, e
m
e
m
)+(x, e
m+1
e
m+1
+ .+x, e
n
e
n
).
Lưu ý rằng x, e
1
e
1
+ .+x, e
m
e
m
) ∈ W và x, e
m+1
e
m+1
+
.+ x, e
n
e
n
∈ W
⊥
. Do đó áp dụng Mệnh đề 7.2.5, suy ra
pr
W
(x)=x, e
1
e
1
+ .+ x, e
m
e
m
.
14

Xem chi tiết: Euclide